Die Cornish Fisher Entwicklung und
ihre Grenzen.
Teil 3 der Artikelserie zur PRIIP Verordnung.
Einleitung
In Teil 2 der PRIIPs-Serie haben wir (anhand des SMI) gesehen, dass tägliche Returns von Aktien oder Aktienindizes im Regelfall nicht normalverteilt sind, sondern dass Extremalereignisse (etwa Returns ausserhalb der doppelten Standardabweichung) häufiger auftreten als dies bei einer Normalverteilung der Fall wäre. Um diesem Phänomen Rechnung zu tragen, schreibt die Delegierte PRIIPs-Verordnung für Kategorie 2 Instrumente die Cornish Fisher Entwicklung vor.
In diesem Beitrag wollen wir nun die Cornish Fisher Entwicklung näher betrachten und auf ihre Grenzen hinweisen.
Die Cornish Fisher Entwicklung und ihre Grenzen
Wie funktioniert die Cornish Fisher Entwicklung?
Die Cornish Fisher Entwicklung verwendet nicht nur Mittelwert und Standardabweichung, sondern auch Schiefe und Exzess Kurtosis, um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Returns zu erhalten. Wenn also die Zeitreihe der Returns eine Schiefe von -0.367 und eine Exzess Kurtosis von 2.356 (das sind die Werte für den DAX zwischen Juli 2013 und Juni 2018) liefert, dann würde die Verteilung so aussehen:
Die blaue Kurve zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte der Standard-Normalverteilung, die gelbe die Cornish Fisher Entwicklung mit gleichem Mittelwert (=0) und gleicher Standardabweichung (=1), aber mit den angegebenen Werten für die Schiefe und die Exzess-Kurtosis. Am linken Ende liegt die gelbe Kurve deutlich höher.
Für die Quantile der Verteilungen sind die Integrale der Wahrscheinlichkeitsdichten, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen relevant.
Wenn wir wissen wollen, wie weit das 1%-Quantil vom Mittelwert abweicht, suchen wir die Schnittpunkte der grünen Waagerechten mit den blauen bzw. gelben Kurven und erhalten: -2.326 (blau), bzw. -3.096 (gelb). Es liegen also 1% der Werte unter 
(Normalverteilung) bzw. unter
(Cornish Fisher mit Schiefe und Exzess-Kurtosis).
Wie kommen wir auf diese Cornish Fisher Werte? Für jedes Quantil gibt es genau einen blauen und einen gelben Schnittpunkt. Wenn wir eine Funktion angeben können, die aus den blauen (Normalverteilungsquantil-) Werten die gelben (Cornish-Fisher-Quantil-) Werte berechnet, haben wir die Aufgabe gelöst.
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Was sind die Grenzen der Cornish Fisher Entwicklung?
In der Cornish Fisher Entwicklung bis zum vierten Moment ist diese Transformation ein Polynom 3. Grades und sieht für die Schiefe und Exzess-Kurtosis wie oben so aus:
Die Volkswagen-Returns haben im gleichen Zeitraum eine Schiefe von -1.245 und eine Exzess Kurtosis von 14.09. Die Cornish Fisher „Transformation“ ist nicht mehr streng monoton steigend, sondern dreht im mittleren Bereich um.
Die Wahrscheinlichkeits“verteilungen“ und die Wahrscheinlichkeits“dichten“ sehen dann folgendermassen aus:
Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind das keine. Wie kommt dieser Unsinn zustande? Der Cornish Fisher Ansatz ist nur dann zulässig, wenn die Transformationsfunktion monoton ist. Als Daumenregel gilt, dass das für eine Exzess-Kurtosis bis etwa 8 (abhängig von der Schiefe) der Fall ist. Im Zeitraum Juli 2013 bis Juni 2018 war die Gültigkeit der Cornish Fisher Transformation für die DAX-Werte Volkswagen, Linde und Adidas verletzt.
Noch schlimmer ist das bei Bitcoin (Excess Kurtosis = 87) und beim Wechselkurspaar CHF/EUR (Exzess Kurtosis =589) im Zeitraum 2013 bis 2017.
Fazit
Bei einer empfohlenen Haltedauer von einem Tag würde ein Bitcoin-Investment von 10.000 USD die folgenden Performance-Szenarien (ohne Kosten) liefern:
Pessimistisch: 14.110 USD
Moderat: 9.681 USD
Optimistisch: 7.435 USD
Ein offensichtlicher verordnungskonformer Unsinn.
Wir haben diese Extremfälle (kurze Haltedauer, extrem hohe Kurtosis) bereits den Aufsichtsbehörden gemeldet.
Für längere Haltedauern (N Handelstage) sinkt die Schiefe mit 
und die Exzess Kurtosis mit 1/N, sodass also für CHF/EUR sich bei 512 Handelstagen folgendes plausible Bild ergibt.
Wenn die höheren Momente extrem und die Haltedauern kurz sind, empfehlen wir eine Kategorie 3 Simulation, die unter der Annahme der Fortschreibung historischer Return-Verteilungen immer plausible Ergebnisse liefert.
Im nächsten Beitrag: PRIIPs Kategorie 3-Methodik für Aktieninstrumente.
